放物運動シミュレーター

放物運動とは

ボールを斜め上に投げると、山なりの曲線を描いて落ちてきます。この運動を放物運動（斜方投射）といいます。空気抵抗を考えなければ、ボールにはたらく力は下向きの重力だけです。そのため運動は次の2つに分けて考えられます。

• 水平方向：力がはたらかないので、速さが変わらない（等速直線運動）
• 鉛直方向：重力によって一定の割合で減速・加速する（等加速度運動）

シミュレーターで「速度ベクトル」を表示すると、横向きの矢印（水平成分）の長さは最後まで変わらず、縦向きの矢印（鉛直成分）だけが変化していくのがわかります。

放物運動の公式

初速 v₀、水平からの角度 θ、高さ h₀ から投げたとき、t 秒後の位置は次の式で表せます。

最高点の高さ

鉛直方向の速度が 0 になる瞬間（t = v₀ sin θ / g）が最高点です。

飛距離（地面から投げた場合）

h₀ = 0 のとき、飛距離は次の式になります。

sin 2θ が最大の 1 になるのは 2θ = 90°、つまり θ = 45° のとき飛距離が最大（R = v₀² / g）です。また sin 2θ = sin(180° − 2θ) なので、30° と 60° のように足して 90° になる角度どうしは飛距離が同じになります。シミュレーターで 30° と 60° を続けて発射すると、同じ場所に着地することを確かめられます。

高い所から投げると、最適な角度は45°より小さくなる

崖の上などから投げる場合（h₀ > 0）は、45° より低い角度のほうが遠くまで飛びます。空気抵抗がない場合、最も遠くまで飛ぶ角度は次の式で求められます。

高さを上げてから「最遠の角度を探す」を押すと、45° より小さい角度が見つかります。砲丸投げの選手が 40° 前後で投げるのも、肩の高さから投げているためです。

空気抵抗があるとどうなるか

実際のボールには、速さの2乗に比例する空気抵抗がはたらきます。

ρ は空気の密度、C_d は抗力係数、A はボールの断面積です。このシミュレーターでは、これを質量 m で割った k = ρC_dA / 2m を「空気抵抗」の値として使っています。軽くて大きいものほど k が大きく、空気抵抗の影響を強く受けます。

• 飛距離・最高点ともに真空のときより小さくなる
• 軌道が左右対称でなくなり、落ちるときのほうが急角度になる
• 最も遠くまで飛ぶ角度が 45° より小さくなる

空気抵抗がある場合は公式で解けないため、このシミュレーターでは運動方程式を数値計算（ルンゲ＝クッタ法）で解いています。

試してみよう

1. 角度 30° と 60° で発射して、着地点が同じになることを確かめる
2. 初速を2倍にすると、飛距離は何倍になるか調べる（答え：4倍）
3. 重力を「月」にして、地球と比べて何倍飛ぶか調べる
4. 空気抵抗を「ピンポン球」にして、真空のときと軌道の形を比べる
5. 高さ 20 m から「最遠の角度を探す」を押し、上の公式の値と比べる

※ 計算結果は物理モデルによる理想化した値です。実際のボールの回転（揚力）や風の影響は含みません。