単位円で考える三角関数
原点を中心とする半径 1 の円を単位円といいます。x 軸の正の向きから角 θ だけ回した半径（動径）と単位円との交点を P(x, y) とすると、
tan θ は、直線 OP と直線 x = 1 との交点の y 座標とも一致します（シミュレーターの緑の線）。半径が r の円で考える場合は、sin θ = y/r、cos θ = x/r、tan θ = y/x です。
数学Iの三角比では 0° ≦ θ ≦ 180° を扱いますが、数学IIでは回転の量として θ をいくらでも大きく（負の角も）考えます。これを一般角といいます。反時計回りが正の向き、時計回りが負の向きです。
弧度法（ラジアン）
半径 1 の円で、角 θ に対する弧の長さで角の大きさを表す方法を弧度法といいます。円周は 2π なので、
30° = π/6、45° = π/4、60° = π/3、90° = π/2 はすぐ出てくるようにしておきましょう。
象限と符号
P がどの象限にあるかで、sin θ・cos θ・tan θ の符号が決まります。
| 第1象限 | 第2象限 | 第3象限 | 第4象限 | |
|---|---|---|---|---|
| sin θ（y 座標） | ＋ | ＋ | − | − |
| cos θ（x 座標） | ＋ | − | − | ＋ |
| tan θ（y ÷ x） | ＋ | − | ＋ | − |
正になるものは、第1象限から順に「すべて・sin・tan・cos」と覚える方法があります。
特別な角の値
tan 30° = 1/√3 は、分母を有理化して √3/3 と書くこともあります。
大切な関係式とグラフの性質
- y = sin θ、y = cos θ は周期 2π（360°）で、値の範囲は −1 以上 1 以下
- y = tan θ は周期 π（180°）で、値はすべての実数をとる。θ = π/2 + nπ では定義されず、グラフはこの直線（漸近線）に近づく
- θ と θ + 2πn（n は整数）は同じ動径なので、三角関数の値も同じ
よくある間違い
- sin と cos を逆にする：cos が x 座標（横）、sin が y 座標（縦）です。
- 第2象限の cos の符号：たとえば cos 150° は負（−√3/2）です。x 座標が負になることを図で確かめましょう。
- tan 90° を「∞」と書く：tan 90° は値が定義されないが正しい答えです。
- 度とラジアンをまぜる：θ = π/3 のように弧度法で書いた角に「°」はつけません。
- sin²θ の意味：sin²θ は (sin θ)² のことで、sin(θ²) ではありません。
確認問題
問1 sin 210°、cos 210°、tan 210° の値は？
210° は第3象限で、基準になる角は 30°。sin 210° = −1/2、cos 210° = −√3/2、tan 210° = 1/√3（第3象限なので tan は正）。
問2 5π/4 は何度？ またそのときの cos の値は？
π = 180° なので 5π/4 = 225°。第3象限で基準の角は 45° なので、cos 5π/4 = −√2/2。
問3 sin θ = 1/2（0 ≦ θ ＜ 2π）を満たす θ は？
単位円で y 座標が 1/2 になる点は2つあるので、θ = π/6、5π/6。シミュレーターで 30° と 150° を比べてみましょう。
問4 θ = 390° のとき sin θ の値は？
390° = 30° + 360° なので、動径は 30° と同じ。sin 390° = sin 30° = 1/2。
※ 一般角はスライダーで −360°（−2π）から 720°（4π）まで動かせます。